
엔진에서 어떤 물리 시스템(계)을 시뮬레이션하려면, 수치 해석적으로 접근해야 되고, 시간에 관한 함수로 나타낼 수 있어야 한다.
2차원 좌표계에서, 한 입자의 시간에 따른 위치를 r(t)라고 하겠다.
r(t)=x(t)ˆi+y(t)ˆj
위치를 미분하게 되면, 속도가 된다.
v(t)=˙r=˙x+˙y
거리가 s라면, 속력은 다음과 같다.
|v|=˙s=dsdt
가속도는 다음과 같다.
a(t)=˙v=¨r=¨xˆi+¨yˆj

탄젠셜 벡터(접선 벡터)를 T, 노멀 벡터(법선 벡터)를 이라고 한다면
T(t)=v|v|=cos(ϕ(t))ˆi+sin(ϕ(t))ˆi
N(t)=−sin(ϕ(t))ˆi+cos(ϕ(t))ˆi
이제 속도를 탄젠셜 벡터를 통해서 나타낼 수 있다. 이때, 속도의 절댓값은 속력이 된다.
v=|v|=˙sT
가속도도 구렁이 담 넘어가듯이, 나타내면 다음과 같다.
a=˙v=d(˙sT)dt
=d˙sdtT+˙sdTdt
=¨sT+˙sdTdsdsdt
=¨sT+˙s2dTds
탄젠셜 벡터를 이동거리에 의해서 미분을 하게 되면, 노멀 벡터가 된다. 이때, 미소 이동거리에 대한 미소 각 팩터는 '곡률'이라고 할 수 있겠다..
dTds=dds(cosϕ,sinϕ)=dϕds(cosϕdϕ,sinϕdϕ)=dϕds(−sinϕ,cosϕ)=dϕdsN=κN
where,κ=dϕds
a=¨sT+˙s2(κN)=¨sT+κ˙s2N
dNds=dds(−sinϕ,cosϕ)=dϕds(−cosϕ,sinϕ)=−κ
꿀팁으로 컴퓨터가 계산하기 쉽게, 행렬로 나타 낼 수 있다.
[dTdsdNds]=[0κ−κ0][TN]
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